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Fractal na revista Página 22 - Buddhabrot



Fui convidado pela  Magali Cabral para criar uma imagem para ilustrar uma matéria da "Revista Página 22".
Criei esta imagem chamada "Buddhabrot" (Budabrot) que parece a imagem clássica do Buda sentado, em forma de névoa.

Post by Grupo Fractarte (2015-09-09 17:22)

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A Arte que Nasce da Matemática


A arte que nasce da matemática

 
Falando da natureza, tudo o que existe perpetua-se graças aos ciclos. A alternância entre dia e noite, e mesmo nascer, gerar e morrer. A repetição sistemática de processos é o trunfo para se obter, a partir da simplicidade, as formas mais sofisticadas.
A constatação de que a transformação é a base de tudo nasceu no tempo em que o mi-croscópio ainda era novidade. Re-afirmada pelos avanços científi-cos, encontrou-sim haja com a tecnologia da computação e, por que não, com a arte. E o que mos-tra a exposição,,Fractais — jane-las para o infinito", em cartaz no Centro Universitário Maria Antonia. Criada a partir do acor-do entre ciência e expressão ar-tística, ela traz um novo olhar so-bre a realidade. A computação gráfica. que hoje nos cerca por todos os lados —como os efeitos especiais do cine-ma e da TV, e a diagramação ele-trônica de jornais, livros e revistas —, está abrindo novos horizontes de conhecimento, e uma das mais importantes linhas de pesquisa são justamente os fractais. A princípio chamados de "mons'!"' Ires topológicos", por serem obje-tos que não se encaixavam na ge-ometria convencional, os fractais são imagens, abstratas ou não, de-senvolvidas no computador atra-vés de fórmulas matemáticas, e que possuem um caráter de auto-similaridade, ou seja, apresentam cópias aproximadas de si mesmas infinitamente multiplicadas dentro de cada uma de suas partes. 
 
A geometria dos fractais é com-plexa, e suas raízes estão no sé-culol9. Entretanto, ela se conso-lida somente a partir dos anos 70, com o maior desenvolvimento dos computadores e das novas teori-as científicas. Mas afinal, em meio a tanta ci-ência e tecnologia, os fractais po-deriam ser vistos como uma ex-pressão de arte? Rodrigo de Almeida Siqueira, integrante do Grupo Fractarte, é bem claro quanto ao seu ponto de vista. "Esse tipo de imagem relaciona arte e tecnologia. Sem a ajuda do computador, seria impossível 
Formas fractais e seus múltiplos contornos: janelas para o infinito 
 
Imagens geradas em computador compõem universos abstratos e fantásticos; exposição fica em cartaz no Centro Universitário Maria Antonia até o dia 28 de abril (1999)
 
obtê-la", diz. "Por outro lado, uma mesma imagem adquire uma cara totalmente original de acor-do com a região que o artista se-leciona e amplia, e com as cores que ele usa." Rodrigo é aluno de Engenharia Elétrica da Escola Politécnica (Poli) da USP e formou o Fractal-te em 1992 com outros dois colegas, Alexandre Dupont e Humberto Rossetti Baptista. Indo bem além de uma brincadeira de estudantes, o propósito dos rapazes, que tam-
ai CAROLINA MATOS 
bém trabalham com programação de supercomputadores e animação, é apresentar a ciência dos fractais de maneira intuitiva e descomplicada, sem deformar o assunto nas explicações. Segundo o grupo, a maior forma encontrada foi a ex-pressão artística. 
p-a.sen(p+tan(b.p))
 
"O fractal é infinito", interpreta Rodrigo, "e cada pessoa vé uma coisa, um sol, uma estrela, 
ou uma chama de fogo". Realmente, é muito comum associar as formas fractais, quase sempre nhulticoloridas, a elementos natu-rais. Não é para menos. O universo da natureza jamais foi de retas, círculos ou esferas perfeitas, nem de curvas suaves, como idealizou o homem. Ao contrário, é surpreendentemente intrincado e irregular, tal como a geometria fractal se propõe a enxergá-lo. À medida que se penetra na ima-gem, a quantidade de detalhes encontrados aumenta. Assim é a natureza, mais complexa e fascinante quanto mais atenta a observação. 
p-a.cos(p+tan(b.p)) 
"Dá para viajar nas imagens", empolga-se Rodrigo. E foi a empolgação dos três artistas da computação que deu impulso à realização da mostra "Fractais - janelas para o infinito", em 1993, durante a Semana de Arte da Poli. Quatro anos depois e com novas imagens, Rodrigo conta que a principal idéia da exposição é aproximar as pessoas do processo de construção das imagens. Ao lado de cada fractal, existe um texto explicando como ele foi feito. A mostra também traz painéis que apresentam algumas aplicações práticas da geometria fractal. Além das artes plásticas e da computação. elas abrangem áreas como a arquitetura (novas formas espaciais e padrões de construção), a economia (auxílio à compreensão das flutuações econômicas), a física (estudo de superfícies intrincadas), a geologia (des-crição de infiltrações de fluidos) e a medicina (estudo das formas internas do corpo). "Fractais -  janelas poro o infinito". No Centro Universitario Mario Antonio, 1° andar, de segundo e domingo, das 9h as 21h30, ate 28 de abril. R. Mario Antonio, 294, teia. 255-5538 e 255-7182. Entrada franca. 
Artesão virtual Produzir um irada) requer a habilidade de um verdadeiro artesão, além de uma boa dose de conhecimento científico para programar o computador, é claro. Depois de elaborada o fórmula, o artista joga essa sentença no computador para ser calculada. "A maior parte das imagens dessa exposição veio de fórmulas que nós criam.", explica Rodrigo. "Muitas vezes induzimos o computador a cometer erros de cálculo, porque daí também saem coisas legais." Como resultado, aparece na tela uma imagem qualquer, nem sempre harmoniosa ou agradável. Começa então a etapa mais criativa, e o trabalho artístico é mais exigido que o de cientista. E preciso selecionar uma região da imagem para ser cautelosamente alterada, através de modificações nos padrões da formula, e colorida, de acordo com os critérios do artista. "Paro de mexer quando acho que ficou bom", diz Rodrigo.
Depois de prontas (e algumas levaram até dez horas no computador para serem concluídas, devido à riqueza de detalhes), as imagens são impressas em papel especial pelo processo dye sublimotion (sublimação de corante), que confere um maior realismo ao registro das cores. 
 

 

Post by Grupo Fractarte (2015-08-15 19:21)

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Introdução do Grupo Fractarte

Técnica utilizada: Imagens geradas no computador a partir de equações matemáticas (fractais).
 
Objetivos das pesquisas:
* Promover o interesse pela matemática e ciências através da beleza das imagens fractais.
* Encontrar novos tipos de equações e métodos para gerar imagens fractais.
* Divulgar a importância e as aplicações dos fractais em diversas áreas como biologia, economia, medicina, computação gráfica, música, geologia, etc.
 
Nome da equipe: Grupo Fractarte
Integrantes:
 - Alexandre Dupont
 - Humberto Rossetti Baptista
 - Rodrigo de Almeida Siqueira
 

Post by Grupo Fractarte (2014-12-25 02:45)

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Computers, Pattern, Chaos and Beauty (Book review)

BOOK REVIEW - Computers, Pattern, Chaos and Beauty (by Clifford Pickover)
 
Citation: Technology Review, August-Sept 1990 v93 n6 p76(2)
 
------------------------------------------------------------------------------
 
Title:       Computers, Pattern, Chaos and Beauty. (book reviews)
Authors:     Sorenson, Peter
 
------------------------------------------------------------------------------
 
Subjects:    Books_Reviews
People:      Pickover, Clifford A.
Rev Grade:   B
Reference #: A9259759
 
==============================================================================
 
Computers, Pattern, Chaos and Beauty
 
COMPUTER graphics has become indispensable in countless areas of human activity. The arts have been strongly affected by computer paint systems, synthesized special effects for motion pictures, and "3-D" television graphics, while industry has long used computer graphics in product design, engineering, and architecture.  And from medicine to fluid dynamics, from atomic physics to astrophysics, there are nearly as many scientific applications of computer graphics as there are areas of study.
 
All this activity has spawned quite a number of books on digital imagery, most of which fall into one of two categories: those written for the layperson (which are full of glossy photos but generally short on meat), and textbooks for the programmer (which are largely indecipherable by anyone outside the field, and not likely to be illustrated very beautifully).
 
That's one reason Computers, Pattern, Chaos and Beauty, by Clifford A. Pickover, is so unusual.  On the one hand, the scientist/artist author--an associate editor of Computer and Graphics magazine--eases the nonspecialist into this collection of essays by providing ample background information on computer graphics along with fascinating high-resolution images. On the other hand, he balances clarity with technical sophistication in accomplishing his main tasks: describing graphical methods for representing and detecting patterns in complicated data, and illustrating simple techniques for visualizing chaotic behavior.  He augments this discussion with numerous "recipes" for recreating most of the graphics programs he has devised.
 
In researching ways to visualize information, Pickover eschews the usual scientific method, whereby a problem is precisely defined and then narrowly investigated.  Instead he casts his hook wherever the waters seem most fertile.  He hops from fractals and chaos to the shroud of Turin, music, acoustic waveforms, genetics, snowflakes, and much more.  Often Pickover applies software he has developed for one field to others where most people might not think to use them.  For example, he used tools designed for speech synthesis research to find new ways of depicting the sequence of ases in a cancer gene.
 
Pickover extends the concept of fractals--geometric shapes that repeat themselves on different scales--to encompass not just the seemingly chaotic systems like water and fire that they are known to underlie but also living organisms.  His "biomorphs," a class of fractals he invented that look like primitive aquatic organisms, are an example. Pickover peers into these complex shapes as if they were drops of pond water under magnification.
 
The discovery of the biomorph creatures began with a bug in a program that Pickover and an associate had written to generate Mandelbrot sets--beautiful, infinitely complex fractal shapes created by the massive repetition of simple mathematical feedback loops.  The bug caused triangular elements to appear everywhere in the fractal's pattern.  By the time they had figured out what was wrong, the researchers were hooked by its unique aesthetics and went on to exploit it. Under their godlike control, the triangles evolved into tapered strands that remind one of the cilia, or tiny hairs, on microbes.
 
Biomorphs' uncanny resemblance to primitive organisms leads the author to wonder if fractals might lie at the root of the forms assumed by living things.  He muses freely on where further work might lead:
 
"Like ancient ants trapped in amber, the biomorphs remind us of the fossils of primitive life. If such complicated shapes can be found in the fabric of mathematical space formed with relatively simple equations, we might wonder if even 'higher' forms could be found by searching spaces defined by more complicated equations."
In his quest for ways to represent complicated data, Pickover has developed the deceptively simple "symmetrized dot-pattern," or SDP. The author has discovered that the human eye/brain finds graphs of acoustic waveforms much easier to digest if they are turned into six-sided patterns of dots like those of a kaloidoscope.  He displays digitized sounds--human voices, animal vocalizations, and the bearing of hearts in various states of health -- in circular graphs with the threefold symmetry of snowflakes.  In this way, sonograms representing the same vowel pronounced by different people, as unique as fingerprints but equally confusing to the untrained eye, become flowerlike SDPs that are instantly recognizable.  The author foresees a useful application for SDPs in medicine: applied to electrocardiograms, they could make heart abnormalities easier to detect.
 
Many of Pickover's projects combine scientific investigation with aesthetic pleasure.  His tessellation patterns are an example.  Starting with a simple figure such as a triangle or squiggle, he applies repeating rules to make the figure reproduce itself automatically in complex patterns.  In the process he not only demonstrates a kind of simplified ecology-on-a-computer--representing organic growth and life cycles--but generates exquisite mosaics.
 
Beyond its obvious contributions to research in a variety of fields, Computers, Pattern, Chaos and Beauty will awaken a wide audience to the astounding visual beauty hidden in methematics and science.
 
PETER SORENSEN is a computer graphics consultant based in Santa Monica, Calif.
 
==============================================================================
Full Text COPYRIGHT Massachusetts Institute of Technology Alumni Association

Post by Grupo Fractarte (2014-01-01 21:22)

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Operação Fractal

Recentemente o nome "Fractal" foi usado como nome de operação da Polícia Federal, devido a características de grande capilaridade (como nos fractais) no modo de atuação do grupo. A "Operação Fractal" teve objetivo de desarticular uma organização criminosa ligada à jogos de azar, corrupção e contrabando em 25 cidades do Paraná, Santa Catarina e Rio Grande do Sul.

"O nome da operação (Fractal) é decorrente da capilaridade detectada nas investigações, que levou a quadrilha a infiltrar-se em todas as esferas do Estado. Por um conceito matemático, “fractal” seria um objeto que apenas encontraria regras na irregularidade, com grande capilaridade, definindo bem a atuação do grupo."

Fonte: Comunicação Social da Polícia Federal no Estado do Paraná

Post by Grupo Fractarte (2013-10-09 18:40)

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Música Fractal

 

Olá Fractarte,
 
Meu nome é Andre, sou produtor musical e adoro imagens fractais, embora esteja ainda pouco engajado neste universo.
Gostaria muito de pedir uma informação: O estilo de música que componho chama-se Chillout Music / Lounge Music, que é um estilo musical que possui um grande teor espiritual, e quero vincular imagens fractais às musicas que componho para que elas façam parte das apresentações ao vivo, clips e animações.
 
Gostaria por favor de saber, (se vcs tiverem conhecimento) de como eu gero essas imagens (qual software) e como posso unir/sincar o áudio & video.
 
Se puderem me fornecer qualquer dica, inclusive se possivel algum bom curso, ficarei muito agradecido.
Moro em SP capital.
Desde já agradeço a atenção.
Grande abraço.
Andre Andreo - andre ( arroba ) andreandreo.com

Post by Grupo Fractarte (2012-11-27 12:34)

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Janelas Para o Infinito - Exposição de Fractais

O grupo fractarte desenvolveu uma exposição de fractais chamada "Janelas para o Infinito". A exposição é composta de:

  • 100 quadros com imagens fractais (impressos em alta definição).
  • Legenda com informações resumidas sobre cada um dos quadros
  • Textos sobre o fractais ("Mesa de leitura")
  • Painéis explicativos sobre fractais, matemática, arte e ciência.

Esta exposição existe desde 1993 e foi apresentada em diversas cidades e galerias. Veja mais sobre a exposição de fractais - Janelas Para o Infinito (site do Grupo Fractarte).

Post by Grupo Fractarte (2012-11-25 17:47)

From: Maria do Rocio Macedo
Há muito frequento este site; adoro o trabalho dessa equipe. Envio este com uma pergunta: posso usar imagens dos fractais expostos aqui na capa da página do facebook? Maria do Rocio (Maria-Estrela Lunar Amarela) 2014-02-04 21:26

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Conjunto de Mandelbrot


Imagem obtida a partir de um zoom profundo no Conjunto de Mandelbrot.
O software usado para gerar esta imagem frctal foi o "Ultrafractal 5".

Outras imagens típicas do Conjunto de Mandelbrot, obtidas a partir de zoom em diversos locais do conjunto inicial:

Saiba mais sobre o Conjunto de Mandelbrot

Post by Grupo Fractarte (2012-08-17 17:08)

From: Christine Ribeiro da Rocha
Acabei de conhecer esta página. Gostei muito do trabalho de vcs. Parabéns! Sou artísta plástica, mas amo ciências tb, portanto, os fractais para mim são uma espécie de síntese da unidade de todo conhecimento. Estou preparando uma exposição em Brasília de peças geométricas, muitas são regidas pelos princípios dos fractais. Paralela a exposição gostaria de promover palestras sobre arte e ciências. Alguem do grupo Fractarte gostaria de nos passar um pouco das experiências e conhecimentos sobre esse tema? A expectativa é que esse evento se realize em meados do segundo semestre. Aguardo resposta. Obrigada! Christine Rocha - Artista Plástica 2013-10-09 17:26

From: Marcos Vinícius dos Santos
Gostaria de saber se o grupo Fractarte tem realmente uma abordagem científica sobre os fractais, se vocês lidam com essa arte utilizando a ciência como parâmetro mesmo... estou estudando o assunto e precisava entender melhor no que vocês se baseiam. 2013-10-09 17:24

From: Rodrigo Siqueira
Olá Elisabeth, Não é possível revereter a equação matemática inicial analisando apenas a imagem. Mas para alguns tipos de fractais mais comuns é possível, para quem conhece, saber qual foi a equação mais provável de ter sido usada. Por exemplo ao ver uma imagem "típica" do conjunto de mandelbrot, é possível saber que foi usada a Equação do Conjunto de Mandelbrot, pois as imagens geradas desta forma possuem padrões típicos e reconhecíveis na maioria das vezes. Ou ao ver imagens típicas do "triângulo de sierpinski" é possível saber que foi usada a equação ou método de construção do triângulo de pascal. Mas para outras imagens mais complexas ou menos conhecidas, fica muito difícil tentar adivinhar, a menos que a pessoa que vê já tenha usado a equação antes para chegar a resultados similares. 2012-08-17 17:11

From: Elisabeth S.Brasileiro
Gostaria de saber se é possivel a partir de um fractal, reverter o processo e chegar à equação matemática inicial. Elisabeth Brasileiro - Artista plástica (escultora e ceramista) 2012-08-17 17:10

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Mosaicos de Penrose


Post by Grupo Fractarte (2012-08-12 18:41)

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Programa em PERL para gerar o Conjunto de Mandelbrot


Esta imagem do fractal Conjunto de Mandelbrot foi gerada pelo programa em PERL (abaixo), rodado com o seguinte parâmetro:
perl mandelbrot.pl 300 > imagem.pbm
O parâmetro 300 significa que a imagem foi gerada com 300x300 pixels.
O arquivo gerado "imagem.pbm" foi convertido para gif para ser adicionado nesta página.

Esta versão simples e com pouca otimização roda 16% mais rápido do que a implementação anterior em PERL do site de comparação de velocidade de linguagens (shootout.alioth.debian.org - Computer Language Benchmarks). Veja mais abaixo a versão otimizada (mais complexa) e que usa threads para ficar mais rápido ainda.

# The Computer Language Shootout
# implemented by Rodrigo de Almeida Siqueira

use strict;

my $ITER = 50;
my $LIMITSQR = 4;
my $xmin = -1.5;
my $xmax = 0.5;
my $ymin = -1;
my $ymax = 1;

my ($w, $h, $Cr, $Ci, $Zr, $Zi, $Tr, $Ti);

$w = $h = shift || 80;

print "P4\n$w $h\n";

for my $y (0..$h-1) {

my @v;

my $Ci = 2 * $y / $h + $ymin;

for my $x (0..$w-1) {

my $Zr = $Zi = $Tr = $Ti = 0;
my $Cr = 2 * $x / $h + $xmin;

my $in_m = 1;

for (1..$ITER) {

$Zi = 2 * $Zr * $Zi + $Ci;
$Zr = $Tr - $Ti + $Cr;
$Ti = $Zi * $Zi;
$Tr = $Zr * $Zr;

if (($Tr + $Ti) > $LIMITSQR) {
$in_m = 0;
last;
}

}

push @v, $in_m;
}

print pack 'B*', pack 'C*', @v;

}

### END ###


Versão otimizada (30% mais rápido do que o algoritmo original) e também paralelizada para funcionar com múltiplos processadores (cores):

# The Computer Language Benchmarks Game
# http://shootout.alioth.debian.org/
#
# contributed by Rodrigo de Almeida Siqueira
# parallelised by Philip Boulain

use strict;
use threads;

my $threads = 6; # Workers; ideally slightly overshoots number of processors

my $MAXITER = 50;
my $LIMIT = 4;
my $xmin = -1.5;
my $ymin = -1;

my ($w, $h);

$w = $h = shift || 200;
my $invN = 2/$w;

print "P4\n$w $h\n"; # PBM image header

sub lines {

my $y1 = shift;
my $y2 = shift;
my @v;

my $checknext=1;

for my $y ($y1..$y2) {

my $Ci = $y * $invN + $ymin;

X:
for my $x (0..$w-1) {

my ($Zr, $Zi, $Tr, $Ti);

my $Cr = $x * $invN + $xmin;

if ($checknext) {

# Iterate with checking (likely outer pixel)
for (1..$MAXITER) {
$Zi = 2 * $Zr * $Zi + $Ci;
$Zr = $Tr - $Ti + $Cr;
$Ti = $Zi * $Zi;
$Tr = $Zr * $Zr;

if ($Tr + $Ti > $LIMIT) {
push @v, 0; # White pixel
next X;
}
}

push @v, 1; # Black pixel
$checknext = 0; # Is inner pixel.

} else {

# Iterate without checking (likely inner pixel)

for (1..$MAXITER) {
$Zi = 2 * $Zr * $Zi + $Ci;
$Zr = $Tr - $Ti + $Cr;
$Ti = $Zi * $Zi;
$Tr = $Zr * $Zr;
}

if ($Tr+$Ti <= 4) {
push @v, 1;
} else { # $Tr+$Ti is a large number or overflow ('nan' or 'inf')
push @v, 0;
$checknext = 1;
}

}

}

}
return pack 'B*', pack 'C*', @v;

}

use constant MAXPIXEL => 524288; # Maximum pixel buffer per thread
my $each = int($h / $threads);
$each = int(MAXPIXEL / $w) if ($each * $w) > MAXPIXEL;
$each = 1 if $each < 1;
$|=1;

my $y = 0;
my @workers;
# Work as long as we have lines to spawn for or threads to collect from
while(@workers or ($y < $h)) {
# Create workers up to requirement
while((@workers < $threads) and ($y < $h)) {
my $y2 = $y + $each;
$y2 = $h if $y2 > $h;
push(@workers, threads->create('lines', $y, $y2-1));
$y = $y2;
}
# Block for result from the leading thread (to keep output in order)
my $next = shift @workers;
print $next->join();
}


Versão em linguagem LUA:
http://shootout.alioth.debian.org/u32/benchmark.php?test=mandelbrot&lang=lua

Versão em PERL no servidor de language benchmark performance:
http://shootout.alioth.debian.org/u32/program.php?test=mandelbrot&lang=perl&id=3

Versão em FORTRAN (muito rápida):
http://shootout.alioth.debian.org/u32/program.php?test=mandelbrot&lang=ifc&id=6

Versão em Java (mandelbrot.java):
http://code.google.com/p/core-java-performance-examples/source/browse/trunk/src/test/java/com/google/code/java/core/shootout/

Post by Grupo Fractarte (2012-01-16 19:24)

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